Cấp số cộng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đóng vai trò thiết yếu trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số. Hiểu rõ về cấp số cộng sẽ giúp học sinh giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về cấp số cộng lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và ứng dụng.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số hạng tổng quát
Với cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d, số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:
\(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với n ≥ 2
Tổng n số hạng đầu tiên
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u_1 và công sai d được tính theo công thức:
\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)
Một số tính chất
Ví dụ
Cho cấp số cộng (1, 4, 7, 10, …) với \(u_1\) = 1 và d = 3.
\(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với n ≥ 2
\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)
Ví dụ
Cho cấp số cộng (1, 4, 7, 10, …) với \(u_1 = 1\) và d = 3.
Bài 1
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_10 = 29\). Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Lời giải:
Cách 1:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát:
\(u_n = u_1 + (n – 1)d\)
Ta có:
\(u_10 = u_1 + (10 – 1)d = 3 + 9d = 29\)
Suy ra d = 3.
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
\(S_10 = 10/2 (2u_1 + (10 – 1)d) = 10/2 (2.3 + 9.3) = 150\)
Cách 2:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên:
\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)
Ta có:
\(S_10 = 10/2 (2.3 + (10 – 1)3) = 10/2 (2.3 + 27) = 150\)
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 150.
Bài 2
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 1 và \(u_n\) = 4n – 3. Tìm số hạng thứ 2023 của cấp số cộng.
Lời giải:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát:
\(u_n = u_1 + (n – 1)d\)
Ta có:
\(u_n = 1 + (n – 1)3 = 4n – 3\)
Vậy số hạng thứ 2023 của cấp số cộng là:
\(u_2023 = 4.2023 – 3 = 8091\)
Bài 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_5\) = 11 và d = -2. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
Bài 2: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 3 và \(u_n = 2n + 1\). Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng.
Bài 3: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 10 và \(u_100\) = 200. Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Bài 4: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_2\) = 4 và \(u_7\) = 16. Tìm số hạng thứ 2023 của cấp số cộng.
Bài 5: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 1 và \(d = 3\). Tìm tổng 100 số hạng lẻ đầu tiên của cấp số cộng.
Bài 6: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 2 và \(d = -5\). Tìm tổng 200 số hạng chẵn đầu tiên
Cấp số cộng là một chủ đề tuy đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng và có thể áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế.