Dấu của nhị thức bậc nhất: Lý thuyết và ứng dụng

Dấu của nhị thức bậc nhất là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, có nhiều ứng dụng trong giải bất phương trình, xét dấu biểu thức, lập bảng biến thiên và giải bài toán thực tế. Bài viết này sẽ trình bày một cách hệ thống về định nghĩa, tính chất và các phương pháp xét dấu của nhị thức bậc nhất.

Nhị thức là gì?

Nhị thức bậc nhất một ẩn x là biểu thức dạng f(x) = ax + b, trong đó a, b là hai số thực, a ≠ 0.

Dấu của nhị thức bậc nhất

• Với a > 0:
  • f(x) > 0 khi x > -b/a.
  • f(x) < 0 khi x < -b/a.
  • f(x) = 0 khi x = -b/a.
• Với a < 0:
  • f(x) > 0 khi x < -b/a.
  • f(x) < 0 khi x > -b/a.
  • f(x) = 0 khi x = -b/a.

Ứng dụng của nhị thức bậc nhất trong toán học

Giải bất phương trình bậc nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất được sử dụng để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ:

• Giải bất phương trình 2x + 3 > 0.
• Giải bất phương trình -3x + 1 < 0.

Xét dấu của biểu thức

Dấu của nhị thức bậc nhất giúp ta xét dấu của biểu thức có dạng f(x) = ax + b, a ≠ 0. Ví dụ:

• Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x^2 – 3x + 1.
• Xét dấu của biểu thức g(x) = -x^2 + 4x – 5.

Lập bảng biến thiên của hàm số bậc nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất được sử dụng để lập bảng biến thiên của hàm số bậc nhất y = ax + b, a ≠ 0. Ví dụ:

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2x + 3.
• Lập bảng biến thiên của hàm số y = -3x + 1.

Giải bài toán thực tế

Dấu của nhị thức bậc nhất được sử dụng để giải các bài toán thực tế liên quan đến:

• Lợi nhuận và thua lỗ.
• Di chuyển của vật thể.
• Tăng trưởng và giảm của một đại lượng.

Ví dụ:

• Một công ty sản xuất sản phẩm A với giá thành sản xuất là 2x (đồng) mỗi sản phẩm. Giá bán ra thị trường là 3x (đồng) mỗi sản phẩm. Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để có lãi?

Cách giải bài tập dấu của nhị thức bậc nhất

Bước 1: Xác định các giá trị làm cho nhị thức bằng 0.

Bước 2: Xác định các khoảng giá trị của biến x.

Bước 3: Lập bảng xét dấu.

Bước 4: Kết luận dấu của nhị thức trong từng khoảng.

Ví dụ: Xét dấu nhị thức f(x) = 2x – 3.

Bước 1:

• f(x) = 0 khi x = 3/2.

Bước 2:

• Xác định hai khoảng: x < 3/2 và x > 3/2.

Bước 3:

Khoảng	Giá trị x	f(x)
x < 3/2	x = 1	f(x) = -1 < 0
x > 3/2	x = 2	f(x) = 1 > 0

Bước 4:

• f(x) < 0 khi x < 3/2.
• f(x) > 0 khi x > 3/2.

Một số dạng bài tập dấu của nhị thức bậc nhất lớp 10

Dạng 1: Xét dấu biểu thức

Ví dụ: Xét dấu biểu thức f(x) = 2x^2 – 3x + 1.

Cách giải:

• Ta có f(x) = 2(x – 1/2)^2 + 1/2 > 0 với mọi x.

Dạng 2: Giải bất phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 2x + 3 > 0.

Cách giải:

• Theo định lý dấu, 2x + 3 > 0 khi x > -3/2.
• Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > -3/2}.

Dạng 3: Lập bảng biến thiên của hàm số bậc nhất

Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2x + 3.

Cách giải:

• Bảng biến thiên:

Khoảng	Giá trị x	f(x)	Đồng biến	Nghịch biến
x < -3/2	x = -1	f(x) = -1	–	+
x > -3/2	x = 2	f(x) = 1	+	–

Dạng 4: Giải bài toán thực tế

Ví dụ: Một công ty sản xuất sản phẩm A với giá thành sản xuất là 2x (đồng) mỗi sản phẩm. Giá bán ra thị trường là 3x (đồng) mỗi sản phẩm. Hỏi công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để có lãi?

Cách giải:

• Lợi nhuận của công ty là f(x) = 3x – 2x = x.
• Để có lãi, f(x) > 0, tức là x > 0.
• Vậy công ty cần sản xuất x > 0 sản phẩm để có lãi.

Luyện tập 

1. Xét dấu biểu thức f(x) = (x – 1)(x + 2).
2. Giải bất phương trình 3x + 4 > 0.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số y = -2x – 3.
4. Một cửa hàng bán sản phẩm A với giá thành sản xuất là 2x (đồng) mỗi sản phẩm. Giá bán ra thị trường là 3x (đồng) mỗi sản phẩm. Hỏi cửa hàng cần bán bao nhiêu sản phẩm để có lãi?
5. Xét dấu biểu thức f(x) = |2x – 1|.
6. Xác định giá trị của x để biểu thức f(x) = (x – 1)(2x + 3) âm.
7. Tìm giá trị của m để bất phương trình mx + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi x.
8. Lập bảng biến thiên của hàm số y = x^2 – 4x + 3.
9. Cho f(x) = ax^2 + bx + c. Xác định dấu của a, b, c biết rằng f(x) > 0 với mọi x.
10. Giải hệ bất phương trình:

• 2x – 1 > 0
• x + 3 < 0

Tóm lại, dấu của nhị thức bậc nhất là một công cụ toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng trong giải toán. Việc nắm vững kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.