Bạn có từng tự hỏi đường thẳng là gì? Nó có những tính chất gì? Làm thế nào để áp dụng kiến thức về đường thẳng vào thực tế? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn câu trả lời cho tất cả những câu hỏi đó.
Nếu ba đường thẳng a, b, c cắt nhau tại ba điểm A, B, C và không có điểm nào trong ba điểm A, B, C thẳng hàng thì:
\(AB/BC = AC/CA = MA/MB = NA/NC\)Nếu ba đường thẳng a, b, c cắt nhau tại ba điểm A, B, C và không có điểm nào trong ba điểm A, B, C thẳng hàng thì:
\(AM/MB \cdot BN/NC \cdot CP/PA = 1\)Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax + by + c = 0
Phương trình tham số của đường thẳng:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x – x0/a = y – y0/b = (z – z0)/c
Phương trình hai điểm của đường thẳng:
y – y1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – x1)
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2)
Góc giữa hai đường thẳng:
cosα = (a1a2 + b1b2)/(√(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2))
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
x = ((b1c2 – b2c1)/(a1b2 – a2b1))
y = ((a2c1 – a1c2)/(a1b2 – a2b1))
Điều kiện song song, vuông góc của hai đường thẳng:
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
a1a2 + b1b2 = 0
Góc giữa hai đường thẳng là góc được tạo bởi hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Giả sử hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính theo công thức:
\(cosα = (a1a2 + b1b2)/(√(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2))\)
Ví dụ:
Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: 3x + y – 4 = 0.
\(*cosα = (1*3 + (-2)1)/(√(1^2 + (-2)^2) * √(3^2 + 1^2)) = 1/√10\)
α ≈ 63,43°
Bài 1
Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: 3x + y – 4 = 0.
a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
b) Tìm khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2.
Lời giải:
\(*cosα = (1*3 + (-2)1)/(√(1^2 + (-2)^2) * √(3^2 + 1^2)) = 1/√10\)
α ≈ 63,43°
b) Tìm khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2.
Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng d2 là:
3x + y – 4 = 0
Khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2 được tính theo công thức:
\(d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2)\)
\(d = |32 + 13 – 4|/√(3^2 + 1^2) = √2/√10 = √2/10\)
Bài 2: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 0).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
b) Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC.
Lời giải:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (2, 2).
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x = 1 + 2t
y = 2 + 2t
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
x – 1 = y – 2 = 2t
b) Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC.
Lời giải:
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là BC = (2, -4).
Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
x – 3 = (y – 4)/-2 = (z – 0)/2
Để điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC thì:
AD . BC = 0
((x – 1) – 2(y – 2)) * 2 + (y – 2) * (-4) = 0*
x – 4y + 10 = 0
Giải hệ phương trình:
x – 3 = (y – 4)/-2
x – 4y + 10 = 0
Ta được: x = 7 và y = 1.
Tọa độ điểm D là (7; 1).
Bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đường thẳng lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, phương trình và ứng dụng. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn học tốt môn toán học và áp dụng kiến thức vào thực tế.