Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng trong Toán học lớp 12, đặc biệt là trong chương Cực trị của hàm số. Việc tìm kiếm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

Định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Điều kiện 1: f(x) ≤ M với mọi x∈D.
• Điều kiện 2: Tồn tại x0​ ∈ D sao cho f(x0​) = M.

Ký hiệu: M = max ∈ D​f(x).

Giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Điều kiện 1: f(x) ≥ m với mọi x∈D.
• Điều kiện 2: Tồn tại x1 ​∈ D sao cho f(x1​) = m.

Ký hiệu: m = minx D ​f(x).

Lưu ý:

• Hàm số có thể không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.
• Hàm số có thể có nhiều giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ:

• Hàm số \(y = x^2\) xác định trên tập R có giá trị nhỏ nhất là m = 0 nhưng không có giá trị lớn nhất.
• Hàm số y = sinx xác định trên tập R có giá trị lớn nhất là M =1 và giá trị nhỏ nhất là m = −1.

Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Phương pháp bảng biến thiên

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
• Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể:
  • Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
  • Xác định các điểm cực trị của hàm số.
  • Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn/khoảng.

Phương pháp so sánh

• Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn/khoảng nhỏ.
• Bước 2: So sánh giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên đoạn/khoảng nhỏ với giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
• Bước 3: Kết luận giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định.

Phương pháp tiếp tuyến

• Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm cực trị.
• Bước 3: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị với giá trị của hàm số trên tiếp tuyến.
• Bước 4: Kết luận giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp giải giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định
• Bước 2. Tính y’ = f'(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định
• Bước 3. Lập bảng biến thiên
• Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể dùng máy tính cầm tay để giải các bước như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị).

Quan sát bảng giá trị máy tính hiện, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

b-a

Ta lập giá trị của biến x Start a End b Step b – a19 (có thể làm tròn).

Chú ý: Khi để bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính về chế độ Rad.

Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số trên một đoạn

• Bước 1: Tính f'(x)
• Bước 2: Tìm những điểm xi ∈ (a;b) mà tại điểm đó f'(xi) = 0 hoặc f'(xi) không xác định
• Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)
• Bước 4: Tìm số có giá trị nhỏ nhất m và số có giá trị lớn nhất M trong các số trên.
• Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên [a, b].

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

Nếu t= sinx hoặc t= cosx => -1≤ t ≤1

Nếu t= |cosx| hoặc t = cos²x => 0 ≤ t ≤1

Nếu t= sinx| hoặc t = sin²x => 0 ≤ t ≤1

Nếu t = sinx + cosx = √2sin(x 4): ⇒ -√2 ≤ t  ≤ √2

• Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ
• Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ
• Kết luận

Bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hàm số y = -x² + 3x² +2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên 3 [0; 3]. Giá trị của M + m bằng

A. 8

B. 10

C. 6

D. 4

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]

Ta có y = 0 => -3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 € [0;3] ⇔ x=2 € [0;3]

Khi đó y(0) = 2, y(2) = 6, y(3) = 2

Vậy M = 6; m = 2 => M+m = 8

Bài 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = -x + 3x² +1 trên [-1; 2] là

A. 29

B. 1

C. 3

D. 13/4

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]

Ta có y’ = -4x² + 6x-2x(2x²-3) y’=0

⇔ x = 0 € [-1; 2]

⇔ 62 € [-1; 2]

⇔ –  62 [-1; 2]

Vi y (0) = 1; y = 62;   y(2) = -3; y(-1) = 3 nên max= 134

Chọn D

Bài tập tự giải

Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x²-5x + 5x +2 trên đoạn [-1; 2]. Khi đó M – m có giá trị bằng

A. -6

B. 12

C. -12

D. 3

Câu 2 : Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x – 46 -x trên [-3; 6]. Tổng M + m có giá trị là

A.-12

B. -6

C. 18

D. -4

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2-x2 trên tập xác định là

A. – 2

B. -1

C. 1

D. 2

Sau khi trình bày các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài viết/bài giảng đã cung cấp cho người đọc/người nghe những kiến thức cơ bản về chủ đề này. Việc nắm vững các phương pháp này sẽ giúp người đọc/người nghe giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một cách hiệu quả.