Lý thuyết phép dời hình: Định nghĩa, các dạng & bài tập

Phép dời hình là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hiểu rõ về phép dời hình sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về phép dời hình, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng phép dời hình và bài tập minh họa.

Khái niệm phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Các phép biến hình sau đây là phép dời hình:

Phép tịnh tiến: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ = |v| và vectơ MM’ cùng hướng với vectơ v.

Phép quay: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

Phép đối xứng tâm: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và O là trung điểm của MM’.

Phép đối xứng trục: Biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ vuông góc với trục d và M’ đối xứng với M qua trục d.

Tính chất của phép dời hình

Khái niệm về hai hình bằng nhau

Định nghĩa

Ví dụ

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ và ∠A = ∠A’. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Lời giải:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.g.c)

Cách 2:

Ta có:

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’, ta có:

Vậy tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’ (c.g.c)

Do tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’, nên:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.c.c)

Các phép dời hình lớp 11

Phép đồng nhất

Phép tịnh tiến

Phép đối xứng tâm

Phép đối xứng trục

Phép quay

Bài tập về phép dời hình có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và điểm E nằm trên cạnh BC sao cho BE = EC. Gọi F là điểm đối xứng của A qua D. Chứng minh rằng phép đối xứng tâm O (là giao điểm của hai đường chéo AC và BD) biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Lời giải:

(1) Ta có:

(2) Do đó:

(3) Ta có:

(4) Do đó, ABCD là hình vuông.

(5) Vậy phép đối xứng tâm O biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Bài 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

Lời giải:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.g.c)

Cách 2:

Ta có:

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’, ta có:

Vậy tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’ (c.g.c)

Do tam giác ABM bằng tam giác A’B’M’, nên:

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

Vậy tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ (c.c.c)

Luyện tập về phép dời hình

Bài 1: 

Bài 2 

Bài 3

Bài 4 

Bài 5

Phép dời hình là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán hình học. Hãy nắm vững kiến thức về phép dời hình để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.