Phương trình quy về phương trình bậc hai là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Hiểu rõ về phương trình quy về phương trình bậc hai sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình quy về phương trình bậc hai, bao gồm định nghĩa, tính chất và phương pháp giải.
Phương trình quy về phương trình bậc hai là phương trình được biến đổi thành phương trình bậc hai ẩn x.
Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong lũy thừa:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Các bước giải phương trình quy về phương trình bậc hai như sau:
Bước 1: Xác định công thức chung của phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\). Trong đó, a, b, c là các số thực và a khác 0.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện a khác 0. Nếu a = 0, phương trình không còn là phương trình bậc hai.
Bước 3: Tính Δ của phương trình bằng cách dùng công thức \(Δ = b^2 – 4ac\).
Bước 4: Phân loại các trường hợp của Δ:
– Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Ta có thể tính được giá trị cụ thể của hai nghiệm bằng công thức: \(x1 = (-b + √Δ) / (2a) và x2 = (-b – √Δ) / (2a)\)..
– Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \(x = -b / (2a)\).. Nếu muốn tính giá trị cụ thể của nghiệm, ta có thể thay vào công thức.
– Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
Bước 5: Đưa ra kết luận về nghiệm của phương trình dựa trên kết quả đã tìm được ở bước 4.
Bước 1. Đầu tiên, xác định dạng tổng quát của phương trình bậc hai: \(Ax^2 + Bx + C = 0\)., trong đó A, B và C là các hệ số đã cho.
Bước 2. Tiếp theo, sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(x = (-B ± √ (B^2 – 4AC)) / (2A)\).
Bước 3. Tính giá trị của Δ (delta), \(Δ = B^2 – 4AC\).. Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép. Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
Bước 4. Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta tính giá trị của x bằng cách sử dụng công thức đã nêu ở bước 2, và kết quả là hai nghiệm phân biệt của phương trình.
Bước 5. Trong trường hợp phương trình có một nghiệm kép, ta cũng tính giá trị của x bằng công thức ở bước 2, và kết quả là nghiệm kép của phương trình.
Bước 6. Nếu phương trình không có nghiệm thực, ta kết luận rằng phương trình không có nghiệm.
Lưu ý: Trong trường hợp có các hệ số thập phân, ta cần làm tròn kết quả đến một số chữ số thập phân hợp lý để xử lý sai số trong tính toán.
Dạng: \(√(ax^2 + bx + c) = m (a ≠ 0)\).
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(ax^2 + bx + c = m^2\).
\(ax^2 + bx + c – m^2 = 0\).
Dạng: \(√(ax^2 + bx + c) + d = m\).
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(√(ax^2 + bx + c) = m – d\).
Dạng: 1\(.(ax^2 + bx + c) = m (a ≠ 0)\).
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(1 = m(ax^2 + bx + c)\)
\(1 = amx^2 + bmx + cm\)
\(amx^2 + bmx + cm – 1 = 0\)
Dạng: \(1/(ax^2 + bx + c) + d = m\)
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(1/(ax^2 + bx + c) = m – d\)
Dạng: \(x^n – m = 0\) (n là số tự nhiên chẵn)
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(t^2 – 13t + 36 = 0\)
Dạng: \(x^n + ax^m + b = 0\) (n, m là số tự nhiên chẵn)
Ví dụ:
Phương pháp giải:
\(t^2 + 2t – 3 = 0\)
Bài 1: Giải phương trình:
\(√(x^2 + 4x – 5) = 3\)
Lời giải:
\(x^2 + 4x – 5 = 9\)
\(x^2 + 4x – 14 = 0\)
x1 = 2; x2 = -7
Bài 2: Giải phương trình:
\(1/(x^2 – 4x + 3) = 2\)
Lời giải:
\(1 = 2(x^2 – 4x + 3)\)
\(1 = 2x^2 – 8x + 6\)
\(2x^2 – 8x + 5 = 0\)
x1 = 1; x2 = 2,5
Bài 3: Giải phương trình:
\(√(x^2 – 2x + 1) + 2 = 4\)
Lời giải:
\(√(x^2 – 2x + 1) = 2\)
Bài 4: Giải phương trình:
\(1/(x^2 + 2x + 1) + 1 = 3\)
Lời giải:
\(1/(x^2 + 2x + 1) = 2\)
Bài 5: Giải phương trình:
\(x^4 – 13x^2 + 36 = 0\)
Lời giải:
\(t^2 – 13t + 36 = 0
t1 = 4; t2 = 9
Giải phương trình
[latex]√(x^2 – 4x + 3) = 2\)
\(1/(x^2 + 2x + 1) = 3\)
\(x^4 – 16x^2 + 64 = 0\)
\(√(x^2 – 4x + 4) + 1 = 3\)
\(1/(x^2 + 2x + 1) – 1 = 0\)
\(x^4 – 2x^2 – 3 = 0\)
Như vậy, bài viết đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình quy về phương trình bậc hai. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc hai một cách dễ dàng và chính xác.