Công thức phương trình logarit là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình Toán lớp 12. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải phương trình logarit là rất quan trọng để học sinh có thể giải quyết các bài tập một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương trình logarit, bao gồm công thức cơ bản, phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp. Chúc bạn học tốt!
Định nghĩa logarit
Logarit cơ số a của số b (a > 0, a ≠ 1) là số mũ mà ta phải nâng cơ số a lên để được số b. Ký hiệu:
\(log_a(b) = x ⇔ a^x = b\)Ví dụ:
- \(log_2(8) = 3 vì 2^3 = 8\)
- \(log_3(27) = 3 vì 3^3 = 27\)
Công thức phương trình logarit chuyển đổi
\(\log_a b.log_b c=\log_a (bc)\) \(\frac{\log_a b}{\log_a c} = log_c b\) \(\log_{a^k} x = \frac{1}{k} log_a x(k ≠ 0)\)Công thức logarit của tích, thương, lũy thừa
\(log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)\)\(log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)\)
\(log_a(x^n) = n.log_a(x)\) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, n là số nguyên)
Giải phương trình logarit
Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản:
Biến đổi phương trình về dạng \(\log_a x = b\) (b là số thực)
Sử dụng công thức \(\log_a x = b\)⇔ \(a^b= x\) để giải phương trình.
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của logarit:
Sử dụng các công thức chuyển đổi logarit để biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn.
Giải phương trình thu được sau khi biến đổi.
Một số dạng phương trình logarit thường gặp
\(\log_a x = \log_a b ⇔ x=b\)
\(\log_a x^2 = \log_a b ⇔ x=\pm\sqrt{b}\)
\(\log_a x = k ⇔ x=a^k\)
\(\log_a x + \log_a y = \log_a z ⇔ xy=z\)
\(\log_a x – \log_a y = \log_a z⇔ \frac{x}{y}=z\)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình log2x=3
Lời giải:
Theo công thức logax=b⇔ab=x, ta có:
\(log2x=3⇔23=x⇔x=8\).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.
Ví dụ 2:Giải phương trình \(log3x(x2−4)=2\).
Lời giải:
Theo công thức \(\logax=b\)⇔\(ab=x\), ta có:
\(\log_3{x^2−4}=2⇔32=x^2−4⇔x^2=13 ⇔ x=±\sqrt{13}\)Vậy nghiệm của phương trình là \(x=±\sqrt{13}\)
Bài tập phương trình logarit có lời giải
Bài 1: Giải phương trình:
\( \log_2 x=4\)Lời giải:
Theo công thức \(\log_a x= b⇔ a^b = x\), ta có:
\(\log_2 x = 4⇔2^4= x⇔x =16\)Vậy nghiệm của phương trình là x = 16.
\(\log_{x^2−1}= 2\)Lời giải:
Biến đổi phương trình:
\(\log_{x^2−1}= 2\)⇔\((x^2−1)^4=4\)
⇔ x2−1 = ±2
⇔ \(x^2= 3\)⇔ \(x = ±\sqrt{3}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(x^2−1 > 0\) ⇔ x > 1 hoặc x <−1.
Vậy nghiệm của phương trình là x=3 hoặc x=−3.
Bài 2:
a) Chứng minh công thức:
\(\log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)\)b) Giải phương trình:
\(\log_3(x) = 2 + log_3(5)\)Lời giải:
a) Chứng minh:
Ta có:
\(\log_a(xy) = y.log_a(x) (1)\)Mặt khác, ta cũng có:
\(\log_a(xy) = log_a(a^{log_a(xy)}) = log_a(a) . log_a(xy) = log_a(xy) (2)\)Từ (1) và (2), suy ra:
\(y.\log_a(x) = log_a(xy)\)
⇔ \(log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy)\)
b) Giải phương trình:
Ta có:
\(\log_3(x) = 2 + log_3(5)\)⇔ \(\log_3(x) = log_3(9)\)
⇔ x = 9
Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.
Bài 3: Giải phương trình:
\(\log_3 (x + 1) = 2\)Lời giải:
Ta có: \(\log_3(x + 1) = 2 ⇔ 3^2 = x + 1 ⇔ x = 8.\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.
Bài tập tham khảo
Bài 1: Giải phương trình logarit có chứa ẩn ở cả cơ số và số mũ:
a. \(\log_{x+2}(x^2-4x+3) = 2.\)
b. \(\log_{x-1}(x-1) = \log_{x}(x+2).\)
c. \(\log_{x}x = 2.\)
Bài 2: Giải phương trình logarit chứa tích, thương, lũy thừa:
a. \(\log_{2}(3x^{2}+2x-1)=\log_{2}(x^{4}+4x+3).\)
b. \(\log_{3}\left(\frac{x+1}{x-2}\right)=1.\)
c. \(\log_{5}(x^{2}-2x+1)=\log_{5}(x-1)^{2}.\)
Hy vọng với những kiến thức được chia sẻ trong bài viết này, bạn đã có thể nắm vững cách giải phương trình logarit. Hãy tiếp tục học tập và luyện tập để chinh phục mọi dạng bài tập về logarit và đạt được kết quả cao trong học tập.
