Số phức là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Hiểu rõ các công thức số phức là nền tảng giúp học sinh giải quyết các bài toán hiệu quả. Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng công thức số phức thường gặp
Các công thức số phức
Cộng và trừ số phức
\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\) \((a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i\)Nhân số phức
\((a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)Chia số phức
\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi) \cdot (c – di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc – ad)i}{c^2 + d^2}\)Modun của số phức
\(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)Lũy thừa của số phức
\((a + bi)^n = (a^n – nC2a^(n-2)b^2 + …) + (na^(n-1)b – nC3a^(n-3)b^3 + …)i\)Căn bậc hai của số phức
\(\sqrt{a + bi} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + \sqrt{\frac{a – \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}i\)Tổng hợp 2 dạng bài tập toán số phức thường gặp
Dạng tìm số phức thỏa mãn đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y sao cho đăng thức sau là đúng:
a) \(5x+y+5xi =2y-1+(x-y)i\)
b) \((-3x+2y)i+(2x-3y+1)=(2x+6y-3)+(6x-2y)i\)
Hướng dẫn:
a) Ta xem xét mỗi vế là một số phức, như vậy điều kiện để 2 số phức 12 bằng nhau là phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.
Ta có: 5x+y=2y-1; 5x=x-y, suy ra x = 1/7; y = 4/7
b) Câu này tương tự câu trên, các bạn cứ việc đồng nhất phần thực băng phần thực, phần ảo bằng phần ảo là sẽ tìm ra được đáp án.
Ví dụ 2: Tìm số phức biết:
a) Z=5 và z = z
b) lzl=8 và phần thực của z bằng 5 lần phần ảo của z.
Hướng dẫn:
a) Giả sử z=a+bi, suy ra z = a – bi. Khi đó:
a2 + b2 = 52; a=a; b=-b (do z = z)
suy ra b = 0,a = 5
Vậy có 2 số phức z thỏa đề bài là z=5 và z=-5
b) Hướng đi là lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó giải tìm ra được phần thực và phần ảo của số phức z.
Như vậy, cách để giải quyết dạng này là dựa vào các tính chất của số phức toán 12, ta lập các hệ phương trình để giải, tìm ra phần thực và ảo của số phức đề bài yêu cầu.
Dạng căn bậc hai và phương trình số phức
Cho số phức \(z=a+bi\) số phức \(w=x+yi\) được gọi là căn bậc hai của z nếu w2 = z, hay nói cách khác:
\((x + yi)^2 (x + yi)^2 = a + bi\)→ \(x^2- y^2 + 2xyi = a + bi → x^2- y^2 = a, 2xy = b(*)\)
Như vậy để tìm căn bậc 2 của một số phức, ta sẽ giải hệ phương trình ở đã nêu ở trên.
Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau \(z^2 + mz + i = 0\) có hai
nghiệm zi, z2 thỏa đẳng thức \(Z_1^2+Z_2^2= -4i\)
Hướng dẫn:
Chú ý, đối với phương trình bậc 2 thì hệ thức Vi-et về nghiệm luôn được sử dụng. Như vậy ta có: \(Z1 + Z2 = -m ; Z1 . Z2=i\)
Theo đề bài:
\(z_1^{2} + z_2^{2} = -4i \quad (z_1 + z_2)^2 – 2z_1z_2 = -4i \quad m^2 = -2i\)Đến đây, bài toán quy về tìm căn bậc hai cho 1 số phức. Áp dụng phần kiến thức đã nêu ở trên, ta giải hệ sau: gọi m=a+bi, suy ra ta có hệ:
\(a^2+b^2 = 0; 2ab = -2i\)=> (a,b)=(1,-1) hoặc (a,b)= (-1,1)[/latex].
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Bài tập về số phức lớp 12 có lời giải
Bài tập 1: Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = 4 – i. Tìm z1 + z2 và z1 – z2.
Lời giải:
\(z1 + z2 = (3 + 4) + (2 – 1)i = 7 + i\) \(z1 – z2 = (3 – 4) + (2 + 1)i = -1 + 3i\)Bài tập 2: Cho số phức z = 5 – 2i. Tìm số phức z + z và z – z.
Lời giải:
\(z + z = (5 + 5) + (-2 – 2)i = 10 – 4i\) \(z – z = (5 – 5) + (-2 + 2)i = 0 + 0i = 0\)Nhân chia số phức:
Bài tập 3: Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = 4 – i. Tìm z1.z2 và z1/z2.
Lời giải:
\(z1.z2 = (3 + 2i)(4 – i) = 12 + 5i – 8i – 2i^2 = 14 – 3i\) \(z1/z2 = (3 + 2i)/(4 – i) = (3 + 2i)(4 + i)/(4 + i)(4 – i) = (12 + 11i)/(16 + 1) = (12 + 11i)/17\)Bài tập 4: Cho số phức z = 5 – 2i. Tìm số phức z.z và z/z.
Lời giải:
\(z.z = (5 – 2i)(5 – 2i) = 25 – 20i + 10i – 4i^2 = 29 – 10i\) \(z/z = \frac{5 – 2i}{5 – 2i} = \frac{(5 – 2i)(5 + 2i)}/{(5 + 2i)(5 – 2i)} = {(25 + 4}{25 + 4} = 1\)Bài tập 5: Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức liên hợp của z.
Lời giải:
Số phức liên hợp của z là z* = 3 – 2i.
Bài tập 6: Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = 4 – i. Tìm số phức liên hợp của z1 + z2 và z1 – z2.
Lời giải:
Số phức liên hợp của z1 + z2 = 7 + i là (7 + i)* = 7 – i.
Số phức liên hợp của z1 – z2 = -1 + 3i là (-1 + 3i)* = -1 – 3i.
Bài tập 7: Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm môđun của z.
Lời giải:
Môđun của z là \(|z| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\)
Bài tập 8: Cho hai số phức \(z1 = 3 + 2i và z2 = 4 – i. Tìm |z1 + z2| và |z1 – z2|\).
Lời giải:
\(|z_1 + z_2| = |7 + i| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}\).
\(|z_1 – z_2| = |-1 + 3i| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\).
Bài tập 9: Giải phương trình \(z^2 + 2z + 1 = 0\).
Lời giải:
Phương trình có hai nghiệm là \(z1 = -1 + i và z2 = -1 – i\).
Luyên tập
Bài tập 1: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 4 – i. Tìm z1 + z2 và z1 – z2.
Bài tập 2: Cho số phức z = 5 – 2i. Tìm số phức z + z và z – z.
Bài tập 3: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 4 – i. Tìm z1.z2 và z1/z2.
Bài tập 4: Cho số phức z = 5 – 2i. Tìm số phức z.z và z/z.
Bài tập 5: Cho số phức z = 2 + 3i. Tìm số phức liên hợp của z.
Bài tập 6: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 4 – i. Tìm số phức liên hợp của z1 + z2 và z1 – z2.
Bài tập 7: Cho số phức z = 2 + 3i. Tìm môđun của z.
Bài tập 8: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 4 – i. Tìm |z1 + z2| và |z1 – z2|.
Bài tập 9: Giải phương trình \(z^2 + 4z + 3 = 0\).
Bài tập 10: Giải phương trình z^2 + (2 – 3i)z + (1 – 2i) = 0.
Hiểu và nắm vững các công thức số phức là bước đầu tiên để chinh phục các bài toán Toán liên quan. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về các dạng công thức số phức thường gặp. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải bài tập của bạn.
