Kỳ thi tuyển sinh vào 10 là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này, sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi toán vào 10 năm 2022 – 2023 Hà Nội, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi toán vào 10 năm 2022 – 2023 Hà Nội
Bài I (2,0 điểm)
1) Khi \( x = 0 \):
\[ A = \dfrac{3\sqrt{0}}{\sqrt{0} + 2} = \dfrac{0}{2} = 0. \]
2) Chứng minh \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \):
\begin{align*}
B &= \dfrac{x + 4}{\sqrt{x} – 2} – \dfrac{2}{\sqrt{x} – 2} \\
&= \dfrac{x + 4 – 2}{\sqrt{x} – 2} \\
&= \dfrac{x + 2}{\sqrt{x} – 2} \\
&= \dfrac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} – 2)}{\sqrt{x} – 2} \\
&= \sqrt{x} + 2.
\end{align*}
3) Tìm \( z \):
Đặt \( A – B = \dfrac{3}{2} \):
\begin{align*}
\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} – \left( \sqrt{x} + 2 \right) &= \dfrac{3}{2} \\
\dfrac{3\sqrt{x} – (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} &= \dfrac{3}{2} \\
\dfrac{3\sqrt{x} – (x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x} + 2} &= \dfrac{3}{2} \\
\dfrac{-x – \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} &= \dfrac{3}{2} \\
-2x – 2\sqrt{x} + 8 &= 3\sqrt{x} + 6 \\
-2x – 5\sqrt{x} + 2 &= 0.
\end{align*}
Giải phương trình trên để tìm \( z \).
Bài II (2,0 điểm)
1) Gọi vận tốc của ô tô là \( x \) km/h, vận tốc của xe máy là \( x – 20 \) km/h.
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là \( \frac{60}{x} \) giờ.
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là \( \frac{60}{x – 20} \) giờ.
Theo đề bài, ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút, tức là \( \frac{1}{2} \) giờ, ta có phương trình:
\[ \frac{60}{x – 20} – \frac{60}{x} = \frac{1}{2} \]
Giải phương trình trên để tìm vận tốc của mỗi xe.
2) Diện tích mặt cầu của quả bóng là \( 4\pi r^2 \) với \( r \) là bán kính của quả bóng.
Với \( r = 9.5 \) cm, diện tích mặt cầu sẽ là:
\[ 4 \times 3.14 \times (9.5)^2 \]
Tính giá trị biểu thức trên để tìm diện tích mặt cầu.
Bài III (2,5 điểm)
1) Đặt hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\dfrac{2x}{y+2} + \dfrac{12}{y-4} = 5 \\
\dfrac{3x-4}{y+2} + \dfrac{4}{y-4} = 2
\end{cases}
\]
Đưa hệ về dạng tổng quát và giải hệ để tìm giá trị của \( x \) và \( y \).
2) a) Giải phương trình hoành độ giao điểm của \( (d) \) và \( (P) \) để chứng minh chúng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
\[ ax^2 = 2x + m^2 \]
Phương trình này luôn có nghiệm khi và chỉ khi \( a \neq 0 \).
b) Để \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( (x_1 + 1)(x_2 + 1) = -3 \), giải phương trình:
\[ a(x^2 + 2x + 1) = 2x + m^2 \]
và tìm mọi giá trị của \( m \) sao cho nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện trên.
Bài IV (3.0 điểm)
Câu 1:
Ta có:
\[
\angle AMH = 90^\circ \text{ (AM vuông góc BC)}
\]
\[
\angle ADH = 90^\circ \text{ (AH vuông góc BE)}
\]
\[
\angle AHM = \angle AEB \text{ (góc chung)}
\]
Do đó, tứ giác AMDH có tổng hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\), nên tứ giác AMDH là tứ giác nội tiếp.
Câu 2:
Câu 3:
Câu V:
Ta có:
\[
\begin{align*}
& \text{(1) } (1 + 4)(x^2 + y^2) \geq (x + 2y)^2 \\
& \text{(2) } x^3 + y^3 = 4
\end{align*}
\]
Từ đó, suy ra:
\[
\begin{align*}
& \text{(3) } (1 + 4)(4 – x^3 – y^3) \geq (x + 2y)^2 \\
& \text{(4) } 5 \geq (x + 2y)^2 \\
& \text{(5) } \sqrt{5} \geq x + 2y \\
& \text{(6) } P = x + 2y \geq \sqrt{5}
\end{align*}
\]
Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\sqrt{5}\).
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia !
