Thể tích khối trụ tròn xoay là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững công thức tính thể tích và phương pháp giải các bài toán liên quan đến khối trụ là điều cần thiết cho học sinh, sinh viên và những người làm việc trong lĩnh vực kỹ thuật.
Khái niệm khối trụ tròn xoay
Khối trụ tròn xoay là hình khối được tạo thành bởi việc quay một hình chữ nhật xung quanh một trục.
Mặt đáy của khối trụ là hai hình tròn bằng nhau.
Chiều cao của khối trụ là khoảng cách giữa hai mặt đáy.
Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay
Thể tích của khối trụ tròn xoay được tính bằng công thức:
$$V = πr²h$$
trong đó:
V là thể tích của khối trụ.
π là số pi, xấp xỉ 3,14159.
r là bán kính của mặt đáy.
h là chiều cao của khối trụ.
Đơn vị:
Thể tích của khối trụ có đơn vị là m³ (mét khối) hoặc cm³ (xăng-ti-mét khối).
Ví dụ:
Cho một khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Thể tích của khối trụ là:
\(V = πr²h = 3,14159 * 5² * 10 = 785,4cm³\)
Các dạng bài tập và phương pháp giải về thể tích khối trụ tròn xoay
Dạng 1: Cho bán kính đáy và chiều cao, tính thể tích khối trụ.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức V = πr²h.
Thay giá trị r và h vào công thức để tính V.
Ví dụ: Cho một khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
\(V = πr²h = 3,14159 * 5² * 10 = 785,4cm³\)
Dạng 2: Cho diện tích đáy và chiều cao, tính thể tích khối trụ.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(S = πr²\)để tính bán kính r.
Thay r và h vào công thức \(V = πr²h\)để tính V.
Ví dụ: Cho một khối trụ tròn xoay có diện tích đáy S = 25π cm² và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
\(S = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = 5 \text{ cm}\)
\(V = \pi r^2 h = 3.14159 \times 5^2 \times 10 = 785.4 \text{ cm}^3\)
Dạng 3: Cho thể tích và chiều cao, tính bán kính đáy.
Phương pháp giải:
Thay V và h vào công thức \(V = πr²h\) để tính r.
Giải phương trình để tìm r.
Ví dụ: Cho một khối trụ tròn xoay có thể tích V = 785,4cm³ và chiều cao h = 10cm. Tính bán kính đáy của khối trụ.
Giải:
\(V = \pi r^2 h \Rightarrow r^2 = \frac{V}{\pi h} = \frac{785.4}{3.14159 \times 10} = 25\)
\(r = \sqrt{25} = 5cm\).
Dạng 4: Cho các yếu tố khác (như đường chéo của hình chữ nhật tạo thành khối trụ), tính thể tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng các mối quan hệ hình học để tính các đại lượng cần thiết (r, h).
Thay các giá trị vào công thức \(V = πr²h\) để tính V.
Ví dụ: Cho một khối trụ tròn xoay được tạo thành bởi việc quay một hình chữ nhật có chiều dài a = 6cm và chiều rộng b = 4cm xung quanh một trục. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
Đường chéo của hình chữ nhật: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}\text{ cm}\)
Chiều cao của khối trụ: \(h = d = 2\sqrt{13}\) cm
Bán kính đáy:\(r = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}\)
Thể tích của khối trụ: \(V = \pi r^2 h = 3.14159 \times 2^2 \times 2\sqrt{13} = 254.47 \text{ cm}^3\).
Bài tập về thể tích khối trụ tròn xoay có lời giải
Bài 1:
Cho một khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
\(V = πr²h = 3,14159 * 5² * 10 = 785,4cm³\)
Bài 2:
Cho một khối trụ tròn xoay có diện tích đáy S = 25π cm² và chiều cao h = 10cm. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
\(S = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = 5 \text{ cm}\)
\(V = πr²h = 3,14159 * 5² * 10 = 785,4cm³\)
Bài 3:
Cho một khối trụ tròn xoay có thể tích V = 785,4cm³ và chiều cao h = 10cm. Tính bán kính đáy của khối trụ.
Giải:
\(V = \pi r^2 h \Rightarrow r^2 = \frac{V}{\pi h} = \frac{785.4}{3.14159 \times 10} = 25\)
\(r = \sqrt{25} = 5cm\).
Bài 4:
Cho một khối trụ tròn xoay được tạo thành bởi việc quay một hình chữ nhật có chiều dài a = 6cm và chiều rộng b = 4cm xung quanh một trục. Tính thể tích của khối trụ.
Giải:
Đường chéo của hình chữ nhật: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13} \text{ cm}\)
Chiều cao của khối trụ: \(h = d = 2\sqrt{13} cm\).
Bán kính đáy:\( r = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2 cm\).
Thể tích của khối trụ: \(V = \pi r^2 h = 3.14159 \times 2^2 \times 2\sqrt{13} = 254.47 \text{ cm}^3\)
Bài 5:
Một chiếc hộp hình trụ có bán kính đáy r = 3cm và chiều cao h = 10cm. Người ta đổ đầy nước vào hộp. Hỏi lượng nước cần đổ vào hộp là bao nhiêu?
Giải:
Thể tích nước cần đổ vào hộp: \(V = πr²h = 3,14159 * 3² * 10 = 282,74cm³\).
Khối lượng nước cần đổ vào hộp: \(m = V * D = 282,74 * 1 = 282,74g\).
Bài tập trắc nghiệm về thể tích khối trụ tròn xoay có đáp án
Câu 1: Cho một khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm. Thể tích của khối trụ là:
A. 314,15cm³
B. 785,4cm³
C. 1570,8cm³
D. 2544,68cm³
Câu 2: Cho một khối trụ tròn xoay có diện tích đáy S = 25π cm² và chiều cao h = 10cm. Thể tích của khối trụ là:
A. 125,66cm³
B. 251,32cm³
C. 376,98cm³
D. 785,4cm³
Câu 3: Cho một khối trụ tròn xoay có thể tích V = 1256,6cm³ và chiều cao h = 12cm. Bán kính đáy của khối trụ là:
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm
Câu 4: Cho một khối trụ tròn xoay được tạo thành bởi việc quay một hình chữ nhật có chiều dài a = 8cm và chiều rộng b = 6cm xung quanh một trục. Thể tích của khối trụ là:
A. 301,56cm³
B. 603,12cm³
C. 904,68cm³
D. 1206,24cm³
Câu 5: Một chiếc hộp hình trụ có bán kính đáy r = 4cm và chiều cao h = 12cm. Người ta đổ đầy cát vào hộp. Hỏi lượng cát cần đổ vào hộp là bao nhiêu, biết rằng 1cm³ cát có khối lượng 1,5g?
A. 2260,8g
B. 2827,4g
C. 3393,6g
D. 3960g
Câu 6: Một chiếc cốc hình trụ có bán kính đáy r = 3cm và chiều cao h = 10cm. Người ta đổ đầy nước vào cốc. Sau đó, người ta nhúng một viên bi hình cầu vào cốc nước thì mực nước dâng lên cao thêm 2cm. Bán kính của viên bi là:
A. 1cm
B. 1,5cm
C. 2cm
D. 2,5cm
Câu 7: Một bể chứa nước hình trụ có bán kính đáy r = 2m và chiều cao h = 3m. Bể đang chứa đầy nước. Người ta mở một vòi nước chảy vào bể, mỗi giờ chảy được 1m³. Sau bao lâu thì bể đầy nước?
A. 1 giờ
B. 2 giờ
C. 3 giờ
D. 4 giờ
Câu 8: Một bể chứa nước hình trụ có bán kính đáy r = 3m và chiều cao h = 4m. Bể đang chứa 1/3 lượng nước. Người ta mở một vòi nước chảy vào bể, mỗi giờ chảy được 2m³. Sau bao lâu thì bể đầy nước?
A. 2 giờ
B. 3 giờ
C. 4 giờ
D. 5 giờ
Câu 9: Một cái cột hình trụ có bán kính đáy r = 20cm và chiều cao h = 5m. Người ta muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của cột điện, trừ hai mặt đáy. Diện tích cần sơn là:
A. 31,4m²
B. 62,8m²
C. 94,2m²
D. 125,6m²
Câu 10: Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r = 10cm và chiều cao h = 20cm. Người ta cắt khối gỗ thành hai phần bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ. Diện tích của mặt cắt là:
A. 314cm²
B. 628cm²
C. 942cm²
D. 1256cm²
Đáp án:
- B
- D
- A
- B
- C
- C
- A
- B
- C
- B
Thể tích khối trụ tròn xoay là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững công thức tính thể tích và phương pháp giải các bài toán liên quan đến khối trụ là điều cần thiết cho học sinh, sinh viên và những người làm việc trong lĩnh vực kỹ thuật.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
