Phương sai là một khái niệm thống kê quan trọng được học sinh lớp 10 tiếp cận trong chương trình Toán. Bài học về phương sai giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách thức phân bố dữ liệu và ứng dụng của nó trong thực tế.
Định nghĩa
Phương sai là đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với trung bình cộng của tập dữ liệu đó.
Công thức tính phương sai
Trường hợp bảng phân bố tần số:
\(S^2 = Σ[(x_i – x)^2 * f_i] / n\)
Trường hợp bảng phân bố tần suất:
\(S^2 = Σ[(x_i – x)^2 * f_i] / N\)
Trong đó:
- \(S^2\): phương sai
- x_i: giá trị của từng dấu hiệu
- x: trung bình cộng của tập dữ liệu
- f_i: tần số của giá trị x_i
- n: số lượng giá trị trong tập dữ liệu
- N: tổng tần số
Ý nghĩa của phương sai
- Phương sai cho biết mức độ phân tán của các giá trị trong tập dữ liệu so với trung bình cộng.
- Phương sai càng lớn, các giá trị trong tập dữ liệu càng phân tán xa trung bình cộng.
- Phương sai càng nhỏ, các giá trị trong tập dữ liệu càng tập trung quanh trung bình cộng.
Ví dụ
Tính phương sai của tập dữ liệu sau:
| Giá trị | Tần số |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 10 |
| 4 | 8 |
| 5 | 5 |
Giải:
- Bước 1: Tính trung bình cộng của tập dữ liệu:
x = (1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 10 + 4 * 8 + 5 * 5) / 30 = 3
- Bước 2: Tính phương sai:
\(S^2 = [(1 – 3)^2 * 2 + (2 – 3)^2 * 5 + (3 – 3)^2 * 10 + (4 – 3)^2 * 8 + (5 – 3)^2 * 5] / 30 = 2\)
Vậy phương sai của tập dữ liệu là 2.
Bài tập phương sai có lời giải
Bài 1:
Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 10 |
| 7 | 8 |
| 8 | 5 |
Hãy tính phương sai của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A.
Lời giải:
- Tính số trung bình:
\(x = (4 * 2 + 5 * 5 + 6 * 10 + 7 * 8 + 8 * 5) / 30 = 6,4\)
- Tính phương sai:
\(s^2 = [(4 – 6,4)^2 * 2 + (5 – 6,4)^2 * 5 + (6 – 6,4)^2 * 10 + (7 – 6,4)^2 * 8 + (8 – 6,4)^2 * 5] / 30 = 1,44\)
Vậy phương sai của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A là 1,44.
Bài 2:
Bảng phân bố tần suất của chiều cao của học sinh lớp 10B như sau:
| Chiều cao (cm) | Tần suất |
| 150 | 5 |
| 155 | 10 |
| 160 | 15 |
| 165 | 10 |
| 170 | 5 |
Hãy tính phương sai của chiều cao của học sinh lớp 10B.
Lời giải:
- Tính số trung bình:
\(x = (150 * 5 + 155 * 10 + 160 * 15 + 165 * 10 + 170 * 5) / 50 = 160,4\)
- Tính phương sai:
\(s^2 = [(150 – 160,4)^2 * 5 + (155 – 160,4)^2 * 10 + (160 – 160,4)^2 * 15 + (165 – 160,4)^2 * 10 + (170 – 160,4)^2 * 5] / 50 = 25,6\)
Vậy phương sai của chiều cao của học sinh lớp 10B là 25,6.
Bài 3:
Một cửa hàng bán giày với giá như sau:
| Giá (VNĐ) | Số lượng |
| 300.000 | 5 |
| 400.000 | 10 |
| 500.000 | 15 |
| 600.000 | 10 |
Hãy tính phương sai của giá bán giày.
Lời giải:
- Tính số trung bình:
x = (300.000 * 5 + 400.000 * 10 + 500.000 * 15 + 600.000 * 10) / 40 = 450.000
- Tính phương sai:
\(s^2 = [(300.000 – 450.000)^2 * 5 + (400.000 – 450.000)^2 * 10 + (500.000 – 450.000)^2 * 15 + (600.000 – 450.000)^2 * 10] / 40 = 50.000\)
Vậy phương sai của giá bán giày là 50.000.
Bài 4:
Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 3 |
| 5 | 7 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 5 |
Yêu cầu:
- Tính số trung bình của điểm kiểm tra môn Toán.
- Tính phương sai của điểm kiểm tra môn Toán.
Hướng dẫn giải:
- Tính số trung bình:
- Bước 1: Nhân giá trị của mỗi điểm với tần số tương ứng.
- Bước 2: Cộng tất cả các tích thu được.
- Bước 3: Chia tổng thu được cho số lượng học sinh.
Công thức:
\(x = Σ(x_i * f_i) / n\)
Trong đó:
- x: Số trung bình
- x_i: Giá trị của từng điểm
- f_i: Tần số của điểm x_i
- n: Số lượng học sinh
Giải:
- Bước 1:
4 * 3 + 5 * 7 + 6 * 12 + 7 * 8 + 8 * 5 = 431
- Bước 2:
n = 3 + 7 + 12 + 8 + 5 = 35
- Bước 3:
x = 431 / 35 = 6,29
Vậy số trung bình của điểm kiểm tra môn Toán là 6,29.
Phương sai là một công cụ thống kê hữu ích để đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu. Hiểu rõ về phương sai giúp học sinh giải quyết các bài toán thống kê và ứng dụng vào thực tế.
