Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Toán lớp 7

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Kiến thức về chủ đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Định lý bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, ta có:

• AB + AC > BC
• AB + BC > AC
• AC + BC > AB

Hệ quả quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

– Độ dài một cạnh của tam giác bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

– Không có tam giác nào có độ dài hai cạnh bằng nhau và lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm.

Theo định lý, ta có:

• AB + AC > BC
• AB + BC > AC
• AC + BC > AB

Thay số vào, ta được:

• 3 + 4 > BC
• 3 + BC > 4
• 4 + BC > 3

Giải các bất đẳng thức trên, ta có:

• BC > 1
• BC > -1
• BC > -1

Vậy, độ dài cạnh BC của tam giác ABC phải lớn hơn 1cm.

Các dạng bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác 

Dạng 1: Kiểm tra ba độ dài bất kỳ có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác hay không.

Ví dụ: Kiểm tra xem ba số 4cm, 6cm, 8cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác hay không.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

• 4 + 6 > 8
• 4 + 8 > 6
• 6 + 8 > 4

Vì cả ba bất đẳng thức trên đều đúng nên ba số 4cm, 6cm, 8cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Dạng 2: So sánh độ dài hai cạnh của một tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm. So sánh BC và AB.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

AB + AC > BC

⇒ BC < AB + AC = 5 + 7 = 12

Vậy BC < AB.

Dạng 3: Chứng minh một điểm nằm trong, trên hay ngoài một tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 6cm. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BD = 2cm. Chứng minh điểm D nằm trong tam giác ABC.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
BD + CD < BC

⇒ CD < BC – BD = 6 – 2 = 4

Lại áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

BD + AC > BC

⇒ AC > BC – BD = 6 – 2 = 4

Vì CD < AC và BD < AC nên điểm D nằm trong tam giác ABC.

Bài tập có lời giải chi tiết về Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm. So sánh BC và AB.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
AB + AC > BC

⇒ BC < AB + AC = 5 + 7 = 12

Vậy BC < AB.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BD = 3cm. Chứng minh điểm D nằm trong tam giác ABC.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
BD + CD < BC

⇒ CD < BC – BD = 8 – 3 = 5

Lại áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
BD + AC > BC

⇒ AC > BC – BD = 8 – 3 = 5

Vì CD < AC và BD < AC nên điểm D nằm trong tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm. Tìm giá trị lớn nhất của cạnh BC.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
BC < AB + AC = 4 + 6 = 10

Vậy giá trị lớn nhất của cạnh BC là 10cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của cạnh AC.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
AC < AB + BC = 6 + 8 = 14

Vậy giá trị nhỏ nhất của cạnh AC là 2cm.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
BC < AB + AC = 5 + 8 = 13

Lại áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

BC² < AB² + AC²

⇒ BC² < 5² + 8² = 89

⇒ BC < √89 ≈ 9,43

Vì BC < 13 và BC² < 89 nên BC² + AC² < AB² + AC².

Theo định lý Pythagoras đảo, ta có tam giác ABC là tam giác vuông.

Luyện tập

1. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 7cm. Tìm độ dài cạnh AC.
2. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm. Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho CD = 4cm. Chứng minh điểm D nằm ngoài tam giác ABC.
3. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 9cm. Tìm giá trị lớn nhất của cạnh AC.
4. Cho tam giác ABC có AB = 8cm, BC = 10cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của cạnh AC.
5. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Chứng minh tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
6. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
7. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
8. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân.
9. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
10. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Chúc bạn học tập tốt!