Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Ba đường trung tuyến của tam giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Kiến thức về chủ đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các đường trung tuyến và các yếu tố khác của tam giác, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác bao gồm các định lý và hệ quả về vị trí tương đối, tỉ số diện tích và các tính chất khác của ba đường trung tuyến.

Định nghĩa  ba đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm chung của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác.

Vị trí trọng tâm:

Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chứng minh tính chất

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm:

Xét tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Nối AM, BN, CP.

Ta có:

AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

BN là đường trung tuyến của tam giác ABC.

⇒ MN // BC và MN = \( \frac{1}{2}\) BC (tính chất đường trung tuyến)

Tương tự, ta có:

CP là đường trung tuyến của tam giác ABC.

CP // AB và CP = \( \frac{1}{2}\) AB

⇒ AP // BC và AP = \( \frac{1}{2}\) BC

Xét tam giác ABC, ta có:

MN // BC và MN = \( \frac{1}{2}\) BC

AP // BC và AP = \( \frac{1}{2}\) BC

⇒ MN // AP và MN = AP

⇒ Tứ giác AMNP là hình bình hành.

⇒ Hai đường chéo AN và MP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vị trí trọng tâm:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có:

AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.

M là trung điểm của BC.

⇒ GM = \(\frac{1}{2}\) AG

⇒ AG = 2GM

Tương tự, ta có:

BG = 2GN

CG = 2GP

⇒ Trọng tâm G cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Hệ quả

Hai đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại trọng tâm thì chia tam giác thành sáu tam giác con có diện tích bằng nhau.

Trọng tâm của tam giác là điểm đặt của lực trung bình của ba lực có giá đi qua ba đỉnh của tam giác và cùng hướng, tỉ lệ với độ dài ba cạnh tương ứng.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Ba đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua một điểm G.

G cách A, B, C lần lượt là \(\frac{2}{3} AD, \frac{2}{3} BE, \frac{2}{3} CF\)

Sáu tam giác ABD, ABE, ACD, ACE, BCD, BCE có diện tích bằng nhau.

Các dạng bài tập về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 

Dạng 1: Chứng minh ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM, BN, CP là ba đường trung tuyến. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC (G là giao điểm của AM và BN).

Giải:

Ta có:

M là trung điểm của BC.

N là trung điểm của AC.

G là giao điểm của AM và BN.

Theo định lý Talet, ta có:

\({GM}{AM} = \frac{GN}{BN} = \frac{1}{2}\)

Suy ra:

\(GM = \frac{1}{2} AM; GN = \frac{1}{2} BN\).

Vì G nằm trên AM và GM = \(\frac{1}{2}\) AM nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Dạng 2: Tìm trọng tâm của tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 6cm, AC = 8cm. Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: GM = \(\frac{2}{3} AM = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}AB =\frac{1}{3} AB = 2cm\)

Vậy trọng tâm G của tam giác ABC cách đỉnh A 2cm.

Dạng 3: Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với M, N là hai điểm thỏa mãn:

\(\frac{AM}{MB} =\frac{ AN}{NC} = \frac{2}{1}\)

Chứng minh M, N là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải:

Theo định lý Talet đảo, ta có:

MN // BC.

Vì M, N là hai điểm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN // BC và \(\frac{AM}{MB} = \frac{ AN}{NC} = \frac{2}{1}\)nên M, N là trung điểm của BC, AC.

Suy ra M, N là trọng tâm của tam giác ABC.

Dạng 4: Tính tỉ số diện tích của hai tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Nối AM và gọi D là trung điểm của AM. So sánh diện tích tam giác AMD với diện tích tam giác ABC.

Giải:

Vì D là trung điểm của AM nên AD = DM =\(\frac{1}{2} \) AM.

Diện tích tam giác AMD = \(\frac{1}{2} * AD * DM = \frac{1}{2} * 1/2 AM *\frac{1}{2} AM = \frac{1}{4}\) * diện tích tam giác ABC.

Vậy diện tích tam giác AMD bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC.

Dạng 5: Giải bài toán liên quan đến đường trung tuyến và các đường thẳng khác trong tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 1/3 BC. Chứng minh AD đi qua trung điểm của MN (với N là trung điểm của AC).

Giải:

Vì N là trung điểm của AC nên \(CN = \frac{1}{2}\) AC.

Vì \(BD = \frac{1}{3}\) BC nên CD = \(\frac{2}{3}\) BC.

Ta có:

\(\frac{AD}{AM} = \frac{CD}{CM} = \frac{2}{3}\)

Theo định lý Talet, ta có:

MN // BC.

Suy ra AD đi qua trung điểm của MN.

Bài tập vận dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 

Bài 1: Cho tam giác ABC với AM, BN, CP là ba đường trung tuyến. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

GA + GB + GC = \(\frac{3}{2}\)AM.

\(GA = \frac{2}{3} AM; GB = \frac{2}{3} BN; GC = \frac{2}{3}\) CP.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(GA = \frac{2}{3}AM; GB = \frac{2}{3} BN; GC = \frac{2}{3}CP\).

Ta có:

\(GA + GB + GC = \frac{2}{3} AM + \frac{2}{3} BN + \frac{2}{3} CP\).

= \( \frac{2}{3} (AM + BN + CP)\).

Vì AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM + BN + CP = \( \frac{3}{2}BC\).

Suy ra GA + GB + GC = \(\frac{2}{3} * \frac{3}{2} BC = \frac{3}{2}\) AM.

Vậy GA + GB + GC = \(\frac{3}{2} \)AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD =\( \frac{1}{3}\) BC. Chứng minh rằng:

AD đi qua trung điểm của MN (với N là trung điểm của AC).

Diện tích tam giác ABD bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Vì N là trung điểm của AC nên CN =\( \frac{1}{2}\) AC.

Vì BD = \(\frac{1}{3}\) BC nên CD = \(\frac{2}{3}\) BC.

Ta có:

\(\frac{AD}{AM} = \frac{CD}{CM} = \frac{2}{3}\)

Theo định lý Talet, ta có:
MN // BC.

Suy ra AD đi qua trung điểm của MN.

Vì N là trung điểm của AC và MN // BC nên N là trung điểm của DM.

Suy ra diện tích tam giác ADM bằng diện tích tam giác BDM.

Diện tích tam giác ABD = diện tích tam giác ADM + diện tích tam giác BDM = 2 * diện tích tam giác ADM.

Vì D là điểm chia BC thành hai đoạn BD và CD với BD = \( \frac{1}{3}\) BC nên diện tích tam giác ABD = \( \frac{1}{3}\) * diện tích tam giác ABC.

Vậy diện tích tam giác ABD bằng \( \frac{1}{4}diện tích tam giác ABC.

Luyện tập

Bài 1. Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi E là điểm trên cạnh BC sao cho [latex]BE = \frac{1}{4}\) BC. Chứng minh rằng:

AE đi qua trung điểm của MN (với N là trung điểm của AC).

Diện tích tam giác ABE bằng \(\frac{1}{8}\) diện tích tam giác ABC.

Bài 2. Cho tam giác ABC với AM, BN, CP là ba đường trung tuyến. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

DEF là tam giác cân.

Diện tích tam giác DEF bằng \( \frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC.

Bài 3. Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = \(\frac{1}{3}\) BC. Chứng minh rằng:

Tứ giác AMCD là hình bình hành.

Diện tích tam giác AMD bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tam giác ABC.

Bài 4. Cho tam giác ABC với AM, BN, CP là ba đường trung tuyến. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

G là trọng tâm của tam giác DEF (với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB).

Diện tích tam giác DEF bằng \( \frac{1}{9}\) diện tích tam giác ABC.

Bài 5. Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho BD =\( \frac{1}{3}\)BC. Chứng minh rằng:

AD là đường trung tuyến của tam giác AMB.

Diện tích tam giác ABD bằng \( \frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC.

Chủ đề Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về các đường trung tuyến và mối liên hệ của chúng với các yếu tố khác của tam giác. Kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phức tạp hơn ở các lớp học sau.

Chúc bạn học tập tốt!