Mệnh đề - Khái niệm và bài tập có lời giải

Môn Toán lớp 10 là giai đoạn đầu tiên học sinh tiếp xúc với khái niệm mệnh đề. Chương “Mệnh đề” cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về mệnh đề, bao gồm khái niệm, phân loại, tính đúng sai, liên kết các mệnh đề,…

Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Ví dụ:

“Số 2 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

• “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề đúng.
• “Mọi số nguyên tố đều chẵn” là mệnh đề sai.

Phân loại mệnh đề

• Mệnh đề đơn: Mệnh đề không chứa mệnh đề nào khác. Ví dụ: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.”
• Mệnh đề ghép: Mệnh đề được tạo thành từ hai hoặc nhiều mệnh đề đơn bằng cách nối chúng bằng các từ nối logic như “và”, “hoặc”, “không”,… Ví dụ: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam và Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất Việt Nam.”

Công thức logic

• Phủ định: ¬P = “không P”
• Kết hợp: P ∧ Q = “P và Q”
• Phân phối: P ∨ Q = “P hoặc Q”
• Kéo theo: P ⇒ Q = “Nếu P thì Q”
• Tương đương: P ⇔ Q = “P khi và chỉ khi Q”

Phủ định của mệnh đề

• Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không P”, ký hiệu là ¬P.
• Ví dụ:
  • Phủ định của mệnh đề “Số 2 là số nguyên tố” là mệnh đề “Số 2 không là số nguyên tố”.
  • Phủ định của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề “Hà Nội không là thủ đô của Việt Nam”.

Mệnh đề kéo theo

• Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là P ⇒ Q.
• Ví dụ: “Nếu trời mưa thì đường trơn” là mệnh đề kéo theo.

Mệnh đề tương đương

• Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu là P ⇔ Q.
• Ví dụ: “Số 2 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu nó chia hết cho 2” là mệnh đề tương đương.

Một số dạng toán liên quan đến mệnh đề

• Chứng minh mệnh đề đúng.
• Chứng minh mệnh đề sai.
• Xác định tính đúng sai của mệnh đề.
• Viết mệnh đề phủ định.
• Viết mệnh đề kéo theo.
• Viết mệnh đề tương đương.

Hệ thống liên kết các mệnh đề

• Bảng chân trị: là bảng dùng để xác định tính đúng sai của mệnh đề ghép.
• Luật suy diễn: là quy tắc cho phép ta suy luận từ một hay nhiều mệnh đề cho ra một mệnh đề khác.

Các dạng mệnh đề lớp 10 thường gặp

Mệnh đề đơn

Là mệnh đề không chứa liên từ “và”, “hoặc”, “không”, “nếu”, “thì”.

Ví dụ

• “Số 2 là số nguyên tố” là một mệnh đề đơn.
• “Hôm nay là thứ Hai” là một mệnh đề đơn.

Mệnh đề ghép

Là mệnh đề được tạo thành từ hai hay nhiều mệnh đề đơn liên kết với nhau bởi các liên từ “và”, “hoặc”, “không”, “nếu”, “thì”.

Ví dụ:

• “Số 2 là số nguyên tố và 3 là số lẻ” là một mệnh đề ghép.
• “Hôm nay là thứ Hai hoặc ngày mai là thứ Ba” là một mệnh đề ghép.

Mệnh đề phủ định

Là mệnh đề được tạo thành từ một mệnh đề P bằng cách thêm từ “không” vào đầu mệnh đề P.

Ví dụ:

Mệnh đề “Số 2 là số nguyên tố” có mệnh đề phủ định là “Số 2 không là số nguyên tố”.

Mệnh đề tương đương

Là hai mệnh đề P và Q được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu cả hai mệnh đề cùng đúng hoặc cùng sai.

Ký hiệu: P ⇔ Q.

Ví dụ:

Mệnh đề “Số 2 là số chẵn” và “Số 2 chia hết cho 2” là hai mệnh đề tương đương.

Mệnh đề kéo theo

Là mệnh đề được tạo thành từ hai mệnh đề P và Q bằng cách nối hai mệnh đề P và Q bởi liên từ “thì”.

Ký hiệu: P ⇒ Q.

Mệnh đề kéo theo đúng khi và chỉ khi P sai hoặc Q đúng.

Ví dụ:

Mệnh đề “Nếu trời mưa thì đường trơn” là một mệnh đề kéo theo.

Mệnh đề đảo

Là mệnh đề được tạo thành từ mệnh đề P ⇒ Q bằng cách đổi vị trí của P và Q.

Ký hiệu: Q ⇒ P.

Mệnh đề đảo không nhất thiết đúng

Ví dụ:

Mệnh đề “Nếu trời mưa thì đường trơn” có mệnh đề đảo là “Nếu đường trơn thì trời mưa”. Mệnh đề đảo này không nhất thiết đúng.

Bài tập có lời giải chi tiết 

Bài 1: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1. a) “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.”
2. b) “Mọi số lẻ đều là số nguyên tố.”
3. c) “Số 2 là số nguyên tố.”
4. d) “Số 1 không phải là số nguyên tố.”

Lời giải:

a) Mệnh đề “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ” là mệnh đề đúng.

Giải thích:

• Ta cần chứng minh rằng mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
• Giả sử p là một số nguyên tố.
• Nếu p là số chẵn thì p chia hết cho 2.
• Tuy nhiên, p là số nguyên tố nên p chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
• Do đó, p không thể là số chẵn.
• Vậy, p phải là số lẻ.

b) Mệnh đề “Mọi số lẻ đều là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

Giải thích:

• Có nhiều số lẻ là số nguyên tố như 3, 5, 7, 11,…
• Tuy nhiên, cũng có nhiều số lẻ không phải là số nguyên tố như 9, 15, 21,…

c) Mệnh đề “Số 2 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Giải thích:

• Số 2 chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
• Do đó, số 2 là số nguyên tố.

d) Mệnh đề “Số 1 không phải là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Giải thích:

• Số 1 chỉ chia hết cho 1.
• Do đó, số 1 không phải là số nguyên tố.

Bài 2: Cho hai mệnh đề P và Q sau:

P: “Số 3 là số nguyên tố.”

Q: “Số 3 chia hết cho 2.”

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) P ⇔ Q.

b) P ⇒ Q.

c) Q ⇒ P.

Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề sai.

Giải thích:

• Mệnh đề P là mệnh đề đúng, mệnh đề Q là mệnh đề sai.
• Do đó, mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

Giải thích:

• Mệnh đề P là mệnh đề đúng, mệnh đề Q là mệnh đề sai.
• Do đó, mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

c) Mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai.

Giải thích:

• Mệnh đề P là mệnh đề đúng, mệnh đề Q là mệnh đề sai.
• Do đó, mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai.

Bài tập luyện tập

Bài 1. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1. a) “Số 4 là số nguyên tố.”
2. b) “Mọi số chia hết cho 5 đều là số chẵn.”
3. c) “Nếu số n là số chẵn thì n^2 là số chẵn.”
4. d) “Nếu số n là số lẻ thì n^2 là số lẻ.”

Bài 2. Cho hai mệnh đề P và Q sau:

P: “Số 3 là số nguyên tố.”

Q: “Số 3 chia hết cho 3.”

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) P ⇔ Q.

b) P ⇒ Q.

c) Q ⇒ P.

Bài 3. Cho hai mệnh đề P và Q sau:

P: “Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 đều là số chẵn.”

Q: “Mọi số chẵn đều chia hết cho 2.”

Hãy xác định tính tương đương của hai mệnh đề P và Q.

Bài 4. Cho mệnh đề P: “Số n là số chia hết cho 3.”

Hãy viết mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Bài 5. Cho mệnh đề P: “Nếu số n là số chẵn thì n^2 là số chẵn.”

Hãy viết mệnh đề đảo của mệnh đề P.

Bài 6. Cho hai mệnh đề P và Q sau:

P: “Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều là số lẻ.”

Q: “Mọi số lẻ đều chia hết cho 3.”

Hãy sử dụng bảng chân trị để xác định tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có được những kiến thức cơ bản về mệnh đề lớp 10. Nắm vững kiến thức về mệnh đề sẽ giúp bạn học tốt môn Toán và có nền tảng vững chắc để tiếp tục chinh phục những môn học khác.