Nguyên hàm cơ bản - Bảng công thức và mẹo giải nhanh

Trong chương trình Giải tích lớp 12, nguyên hàm là một trong những cột mốc quan trọng nhất, mở cánh cửa vào thế giới của tích phân và các ứng dụng thực tế như tính diện tích, thể tích. Việc nắm vững các nguyên hàm cơ bản không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trên lớp mà còn là nền tảng cho các kỳ thi đánh giá năng lực.  

Nguyên hàm là gì? Định nghĩa và ý nghĩa của hằng số $C$

Về mặt tư duy, nguyên hàm là "phép toán ngược" của đạo hàm. Nếu đạo hàm cho chúng ta biết tốc độ thay đổi tại một điểm, thì nguyên hàm giúp chúng ta tìm lại hàm số gốc từ tốc độ thay đổi đó.

Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu:

$$F'(x) = f(x) \quad \text{với mọi } x \in K$$

Tại sao luôn có hằng số $C$?

Khi đạo hàm một hằng số (như $5, 10$ hay $\pi$), kết quả luôn bằng $0$. Do đó, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm, thì bất kỳ hàm số nào có dạng $F(x) + C$ (với $C$ là hằng số) cũng đều có chung đạo hàm là $f(x)$.

Về mặt hình học, họ các nguyên hàm $\int f(x)dx = F(x) + C$ đại diện cho một tập hợp các đường cong giống hệt nhau nhưng được dịch chuyển tịnh tiến theo trục tung $Oy$.

Các tính chất của nguyên hàm giúp đơn giản hóa biểu thức

Để không bị sa lầy vào những biểu thức phức tạp, bạn cần thuộc lòng 3 tính chất "vàng" sau đây. Chúng giúp chúng ta chẻ nhỏ bài toán lớn thành những phần đơn giản hơn.

1. Tính tuyến tính với hằng số: Nếu bạn có một hằng số $k$ nhân với hàm số, bạn có thể đưa nó ra ngoài dấu nguyên hàm:
   $$\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx \quad (k \neq 0)$$
2. Tính chất của một tổng hoặc hiệu: Nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm:
   $$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
3. Lưu ý lỗi sai: Tuyệt đối không có tính chất nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm. Để giải quyết tích hoặc thương, chúng ta cần các phương pháp nâng cao hơn như đổi biến số hoặc nguyên hàm từng phần.

Bảng nguyên hàm cơ bản của các hàm số sơ cấp thường gặp

Đây là "bảng cửu chương" của chương giải tích. Để giải nhanh bài tập trắc nghiệm, bạn buộc phải phản xạ nhanh các công thức này:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm ∫f(x)dx	Lưu ý
$0$	$C$	Đạo hàm hằng số bằng 0
$1$ (hoặc $dx$)	$x + C$	Đạo hàm của $x$ bằng 1
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	Điều kiện $n \neq -1$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x + C$	Hàm số "bất biến"
$\sin x$	$-\cos x + C$	Cẩn thận dấu trừ
$\cos x$	$\sin x + C$

Mối quan hệ mật thiết giữa đạo hàm và nguyên hàm

Hiểu được mối quan hệ này sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án cực nhanh. Có một định lý quan trọng mà học sinh hay quên:

$$\left( \int f(x) dx \right)' = f(x)$$

Điều này có nghĩa là nếu bạn tính ra kết quả nguyên hàm, bạn chỉ cần đạo hàm ngược lại kết quả đó. Nếu nó ra đúng hàm số dưới dấu nguyên hàm ban đầu, bạn đã làm đúng!

Mẹo giải nhanh: Trong các câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu tìm nguyên hàm của $f(x)$, nếu bạn thấy lúng túng với các phương pháp biến đổi, hãy thử đạo hàm từng phương án $A, B, C, D$. Phương án nào có đạo hàm bằng đúng $f(x)$ thì đó là đáp án chính xác.

Nguyên hàm cơ bản không khó nếu bạn nắm vững bảng công thức và không quên hằng số $C$. Hãy rèn luyện kỹ năng đạo hàm thật tốt, vì đó là "kim chỉ nam" giúp bạn không bao giờ lạc lối khi giải toán nguyên hàm.

>>> Xem ngay bài viết: 

• Công thức nguyên hàm lớp 12 từ A đến Z dầy đủ và mới nhất
• Giải nhanh nguyên hàm lớp 12 với các phương pháp đơn giản