Phương sai là một khái niệm thống kê quan trọng được học sinh lớp 10 tiếp cận trong chương trình Toán. Bài học về phương sai giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách thức phân bố dữ liệu và ứng dụng của nó trong thực tế.
Phương sai là đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với trung bình cộng của tập dữ liệu đó.
Trường hợp bảng phân bố tần số:
\(S^2 = Σ[(x_i – x)^2 * f_i] / n\)
Trường hợp bảng phân bố tần suất:
\(S^2 = Σ[(x_i – x)^2 * f_i] / N\)
Trong đó:
Ví dụ
Tính phương sai của tập dữ liệu sau:
| Giá trị | Tần số |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 10 |
| 4 | 8 |
| 5 | 5 |
Giải:
x = (1 * 2 + 2 * 5 + 3 * 10 + 4 * 8 + 5 * 5) / 30 = 3
\(S^2 = [(1 – 3)^2 * 2 + (2 – 3)^2 * 5 + (3 – 3)^2 * 10 + (4 – 3)^2 * 8 + (5 – 3)^2 * 5] / 30 = 2\)
Vậy phương sai của tập dữ liệu là 2.
Bài 1:
Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 10 |
| 7 | 8 |
| 8 | 5 |
Hãy tính phương sai của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A.
Lời giải:
\(x = (4 * 2 + 5 * 5 + 6 * 10 + 7 * 8 + 8 * 5) / 30 = 6,4\)
\(s^2 = [(4 – 6,4)^2 * 2 + (5 – 6,4)^2 * 5 + (6 – 6,4)^2 * 10 + (7 – 6,4)^2 * 8 + (8 – 6,4)^2 * 5] / 30 = 1,44\)
Vậy phương sai của điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A là 1,44.
Bài 2:
Bảng phân bố tần suất của chiều cao của học sinh lớp 10B như sau:
| Chiều cao (cm) | Tần suất |
| 150 | 5 |
| 155 | 10 |
| 160 | 15 |
| 165 | 10 |
| 170 | 5 |
Hãy tính phương sai của chiều cao của học sinh lớp 10B.
Lời giải:
\(x = (150 * 5 + 155 * 10 + 160 * 15 + 165 * 10 + 170 * 5) / 50 = 160,4\)
\(s^2 = [(150 – 160,4)^2 * 5 + (155 – 160,4)^2 * 10 + (160 – 160,4)^2 * 15 + (165 – 160,4)^2 * 10 + (170 – 160,4)^2 * 5] / 50 = 25,6\)
Vậy phương sai của chiều cao của học sinh lớp 10B là 25,6.
Bài 3:
Một cửa hàng bán giày với giá như sau:
| Giá (VNĐ) | Số lượng |
| 300.000 | 5 |
| 400.000 | 10 |
| 500.000 | 15 |
| 600.000 | 10 |
Hãy tính phương sai của giá bán giày.
Lời giải:
x = (300.000 * 5 + 400.000 * 10 + 500.000 * 15 + 600.000 * 10) / 40 = 450.000
\(s^2 = [(300.000 – 450.000)^2 * 5 + (400.000 – 450.000)^2 * 10 + (500.000 – 450.000)^2 * 15 + (600.000 – 450.000)^2 * 10] / 40 = 50.000\)
Vậy phương sai của giá bán giày là 50.000.
Bài 4:
Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A như sau:
| Điểm | Tần số |
| 4 | 3 |
| 5 | 7 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 5 |
Yêu cầu:
Hướng dẫn giải:
Công thức:
\(x = Σ(x_i * f_i) / n\)
Trong đó:
Giải:
4 * 3 + 5 * 7 + 6 * 12 + 7 * 8 + 8 * 5 = 431
n = 3 + 7 + 12 + 8 + 5 = 35
x = 431 / 35 = 6,29
Vậy số trung bình của điểm kiểm tra môn Toán là 6,29.
Phương sai là một công cụ thống kê hữu ích để đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu. Hiểu rõ về phương sai giúp học sinh giải quyết các bài toán thống kê và ứng dụng vào thực tế.