Phương trình đường tròn là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Chủ đề này giúp học sinh hiểu và vận dụng các kiến thức về đường tròn vào giải các bài toán thực tế.
Dạng tổng quát: \((x – a)² + (y – b)² = R²\)
Dạng tâm và bán kính: \(I(a; b), R: (x – a)² + (y – b)² = R²\)
Dạng hai điểm: \((x₁, y₁), (x₂, y₂): (x – x₁)(x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0\)
Dạng ba điểm:
\((x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃): 4(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) + 4(y – y₁)(y – y₂)(y – y₃) = (x₁² + y₁² – x₂² – y₂²)(x₁² + y₁² – x₃² – y₃²)\)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\) tại điểm M(x0, y0) là: \((x – x0)(a – x0) + (y – y0)(b – y0) = R²\)
Vectơ \(n = (2(a – x); 2(b – y))\) là vectơ pháp tuyến của đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R².\)
Dạng điểm và đường thẳng:
Cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M là: \((x – x₀)(x – a) + (y – y₀)(y – b) = 0\).
Dạng tham số:
Cho đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M(x₀; y₀) là: x = x₀ + t(a – x₀); y = y₀ + t(b – y₀)\) (t là tham số).
Cho điểm M(x₀; y₀) và đường tròn \((x – a)² + (y – b)² = R²\), khoảng cách từ M đến đường tròn được tính theo công thức: \(d = |(x₀ – a)² + (y₀ – b)² – R²| / √((a – x₀)² + (b – y₀)²)\).
Điểm M nằm trong đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² < R²\)
Điểm M nằm trên đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² = R²\)
Điểm M nằm ngoài đường tròn: \((x₀ – a)² + (y₀ – b)² > R²\)
Cho tâm I và bán kính R:
Phương trình: \((x – a)² + (y – b)² = R² (với tâm I(a, b))\)
Cho ba điểm trên đường tròn:
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp vectơ.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường tròn:
Sử dụng công thức: \(d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)\) (với điểm M(x₀, y₀) và đường tròn (C): \(Ax + By + C = 0)\)
Độ dài cung tròn:
\(L = s/360° . 2πR\) (với s là độ dài cung trên đường tròn có bán kính R và số đo góc ở tâm là 360°)
Diện tích hình quạt:
\(S = (s/360°) . πR²\) (với s là độ dài cung trên đường tròn có bán kính R và số đo góc ở tâm là 360°)
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
Bài 1: Cho phương trình đường tròn: \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Bài 2: Cho điểm A(1; 2) và đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
Dạng 2: Viết phương trình đường tròn:
Bài 3: Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = 5.
Bài 4: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 6).
Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của điểm và đường tròn:
Bài 5: Cho điểm M(1; 2) và đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 8y + 5 = 0\). Xác định vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C).
Bài 6: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = 2R.
Dạng 4: Vẽ đường tròn:
Bài 7: Vẽ đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\).
Bài 8: Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 6).
Dạng 5: Tính toán các yếu tố hình học liên quan đến đường tròn:
Bài 9: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0\). Tính độ dài dây AB biết A và B là hai giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng y = 2x.
Bài 10: Cho đường tròn (C): \(x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0\). Tính diện tích hình quạt AOB biết A và B là hai giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng \(x + y – 5 = 0\), sđ cung AB = 120°.
Hy vọng qua bài viết này, các bạn đã hiểu rõ hơn về phương trình đường tròn và có thể vận dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế.
“Chúc các bạn học tốt!”